Question

如圖，在正△ABC的邊BC、CA、AB上分別取點(diǎn)P、Q、R，使CQ=2BP，AR=3BP．已知正三角形的邊長是11cm，BP=xcm，△PQR的面積為S
（1）用解析式將S表示成x的函數(shù)；
（2）求S的最小值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先，求解△ABC、△BPR、△PCQ、△ARQ的面積，然后，求解得到將S表示成x的函數(shù)；
（2）根據(jù)（1），借助于二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可．

解答： 解：（1）∵BP=xcm，
∴AR=3x，CQ=2x，
∴BR=11-3x，
△BPR中，BP邊上的高為

3 (11-3x)

2

，
△PCQ中，PC邊上的高為

2 3 x

2

，
△ARQ中，AR邊上的高為

3 (11-2x)

2

，
∴S=S_△ABC^-（S_△BPR+S_△PCQ+S_△ARQ）
=

11 3

4

(x2-6x+11)，
∴S=

11 3

4

(x2-6x+11)，（0＜x＜11），
（2）根據(jù)（1），
S=

11 3

4

(x2-6x+11)，
=

11 3

4

[(x-3)2+2]，
∵0＜x＜11，
∴當(dāng)x=3時，S有最小值

11 3

2

．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的解析式的求解方法，理解自變量的取值情形是解題的關(guān)鍵，屬于難題．