Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，直線PA⊥平面ABC，且∠ABC=90°，又點Q，M，N分別是線段PB，AB，BC的中點，且點K是線段MN上的動點．
（1）證明：直線QK∥平面PAC；
（2）若PA=AB=BC，求二面角Q-AN-M的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）連結QM，由已知條件推導出平面QMN∥平面PAC，由此能證明QK∥平面PAC．
（2）過M作MH⊥AN于H，連QH，則∠QHM即為二面角Q-AN-M的平面角，由此能求出二面角Q-AN-M的平面角的余弦值．

解答： （1）證明：連結QM，∵點Q，M，N分別是線段PB，AB，BC的中點，
∴QM∥PA，MN∥AC，QM∥平面PAC，MN∥平面PAC，
∵MN∩QM=M，∴平面QMN∥平面PAC，QK?平面QMN，
∴QK∥平面PAC．
（2）解：過M作MH⊥AN于H，連QH，
則∠QHM即為二面角Q-AN-M的平面角，
令PA=AB=BC=2，則QM=AM=1，
∴此時sin∠MAH=sin∠BAN=

1

5

，MH=

1

5

，
記二面角Q-AN-M的平面角為θ，
則tanθ=

QM

MH

=

5

，∴cosθ=

6

6

，
∴二面角Q-AN-M的平面角的余弦值為

6

6

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．