1.如圖1,平面五邊形ABCDE中,AB∥CE,且$AE=2,∠AEC={60°},CD=ED=\sqrt{7}$,$cos∠EDC=\frac{5}{7}$.將△CDE沿CE折起,使點(diǎn)D到P的位置如圖2,且$AP=\sqrt{3}$,得到四棱錐P-ABCE.

(1)求證:AP⊥平面ABCE;
(2)記平面PAB與平面PCE相交于直線l,求證:AB∥l.

分析 (1)在△CDE中,由已知結(jié)合余弦定理得CE.連接AC,可得AC=2.在△PAE中,由PA2+AE2=PE2,得AP⊥AE.同理,AP⊥AC,然后利用線面垂直的判定可得AP⊥平面ABCE;
(2)由AB∥CE,且CE?平面PCE,AB?平面PCE,可得AB∥平面PCE,又平面PAB∩平面PCE=l,結(jié)合面面平行的性質(zhì)可得AB∥l.

解答 證明:(1)在△CDE中,∵$CD=ED=\sqrt{7}$,$cos∠EDC=\frac{5}{7}$,
∴由余弦定理得CE=$\sqrt{(\sqrt{7})^{2}+(\sqrt{7})^{2}-2×\sqrt{7}×\sqrt{7}×\frac{5}{7}}$=2.
連接AC,∵AE=2,∠AEC=60°,∴AC=2.
又∵$AP=\sqrt{3}$,∴在△PAE中,PA2+AE2=PE2,
即AP⊥AE.
同理,AP⊥AC,
∵AC?平面ABCE,AE?平面ABCE,
且AC∩AE=A,
故AP⊥平面ABCE;
(2)∵AB∥CE,且CE?平面PCE,AB?平面PCE,
∴AB∥平面PCE,
又平面PAB∩平面PCE=l,
∴AB∥l.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定,面面平行的性質(zhì),考查空間想象能力和思維能力,關(guān)鍵是明確折疊問(wèn)題折疊前后的變量與不變量,是中檔題.

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