Question

11．《最強(qiáng)大腦》是江蘇衛(wèi)視推出國內(nèi)首檔大型科學(xué)類真人秀電視節(jié)目，該節(jié)目集結(jié)了國內(nèi)外最頂尖的腦力高手，堪稱腦力界的奧林匹克，某校為了增強(qiáng)學(xué)生的記憶力和辨識(shí)力也組織了一場類似《最強(qiáng)大腦》的PK賽，A、B兩隊(duì)各由4名選手組成，每局兩隊(duì)各派一名選手PK，除第三局勝者得2分外，其余各局勝者均得1分，每局的負(fù)者得0分，假設(shè)每局比賽兩隊(duì)選手獲勝的概率均為0.5，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
（1）求比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分的概率；
（2）求比賽結(jié)束時(shí)B隊(duì)得分X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)事件“比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分”為A，事件“比賽結(jié)束時(shí)B隊(duì)的得分高于a隊(duì)的得分”，事件“比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分等于B隊(duì)的得分”為事件C，根據(jù)：每局比賽兩隊(duì)選手獲勝的概率均為0.5，可得P（A）=P（B），P（A）+P（B）+P（C）=1，P（C）=0．即可得出P（A）．
（2）X的可能取值為0，1，2，3，4，5．根據(jù)相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)事件“比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分高于B隊(duì)的得分”為A，事件“比賽結(jié)束時(shí)B隊(duì)的得分高于a隊(duì)的得分”，事件“比賽結(jié)束時(shí)A隊(duì)的得分等于B隊(duì)的得分”為事件C，根據(jù)：每局比賽兩隊(duì)選手獲勝的概率均為0.5，
則P（A）=P（B），P（A）+P（B）+P（C）=1，P（C）=0．
∴P（A）=$\frac{1}{2}$．
（2）X的可能取值為0，1，2，3，4，5．
P（X=0）=$（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{16}$，P（X=1）=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）^{3}×3$=$\frac{3}{16}$，
P（X=2）=${∁}_{3}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}×（1-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{4}{16}$，
P（X=3）=$（\frac{1}{2}）^{3}×（1-\frac{1}{2}）$+$\frac{1}{2}×{∁}_{3}^{1}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）$×$（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{4}{16}$，
P（X=4）=$\frac{1}{2}×{∁}_{3}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}×（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{16}$，P（X=5）=$（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{16}$．

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$

E（X）=0×$\frac{1}{16}$+1×$\frac{3}{16}$+2×$\frac{4}{16}$+3×$\frac{4}{16}$+4×$\frac{3}{16}$+5×$\frac{1}{16}$=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立與互斥及其對(duì)立事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．