Question

18．已知函數(shù)f（x）=|x-3|-2|x+1|的最大值為m．
（1）求m的值和不等式f（x）＜1的解集；
（2）若a，b∈（0，+∞），a²+2b²+c²=m，求ab+bc的最大值．

Answer 1

分析 （1）分類討論，求出函數(shù)的值域，即可求m的值；
（ 2）由（1）知，a²+2b²+c²=4，利用基本不等式求ab+bc的最大值．

解答 解：（1）當x≤-1時，f（x）=（3-x）+2（x+1）=x+5≤4；
當-1＜x＜3時，f（x）=（3-x）-2（x+1）=-3x+1∈（-8，4）；
當x≥3時，f（x）=（x-3）-2（x+1）=-x-5≤-8．…（3分）
故當x=-1時，f（x）取得最大值m=4；
|x-3|-2|x+1|＜1，可化為
當x≤-1時，x+5＜1，∴x＜-4；當-1＜x＜3時，-3x+1＜1，∴x＞0，∴0＜x＜3；
當x≥3時，-x-5＜1，∴x＞-4，∴x≥3，
綜上所述，不等式f（x）＜1的解集為{x|x＜-4或x＞0}；
（2）由（2）知，a²+2b²+c²=4，則ab+bc≤$\frac{1}{2}$[（a²+b²）+（b²+c²）]=2，
∴ab+bc的最大值為2．

點評 本題考查絕對值不等式，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．