Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=$\frac{kn-3}{n-\frac{3}{2}}$（k為常數(shù)）．
（1）若數(shù)列{a_n是等差數(shù)列，求k的值；
（2）若k≠2，求數(shù)列{a_n}中的最大項和最小項；
（3）若a_n＞$\frac{k{2}^{n}+（-1）^{n}}{{2}^{n}}$，對任意的n∈N^*恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）方法一：根據(jù)等差中項的性質(zhì)得：2a_n=a_n+1+a_n-1，將a_n=$\frac{kn-3}{n-\frac{3}{2}}$代入化簡求出k的值；
方法一：由a_n=$\frac{kn-3}{n-\frac{3}{2}}$分別求出前三項，再由等差中項的性質(zhì)列出方程，求出k的值；
（2）利用分離常數(shù)法化簡a_n=$\frac{kn-3}{n-\frac{3}{2}}$為a_n=k+$\frac{\frac{3}{2}k-3}{n-\frac{3}{2}}$，對$\frac{3}{2}k-3$進行分類討論，利用一次函數(shù)的單調(diào)性分別數(shù)列{a_n}的單調(diào)性，分別求出數(shù)列{a_n}中的最大項和最小項；
（3）由（2）和題意將已知的不等式轉(zhuǎn)化為：$\frac{\frac{3}{2}k-3}{n-\frac{3}{2}}＞\frac{{（-1）}^{n}}{{2}^{n}}$對任意的正整數(shù)n恒成立，再對n進行分類討論，根據(jù)作差法和n的取值范圍分別求出k的取值范圍．

解答 解：（1）方法一：∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴當n≥2時，2a_n=a_n+1+a_n-1…（2分）
∴$2•\frac{kn-3}{n-\frac{3}{2}}=\frac{k（n+1）-3}{（n+1）-\frac{3}{2}}+\frac{k（n-1）-3}{（n-1）-\frac{3}{2}}$，
整理得k=2…（4分）
方法二：a₁=-2k+6，a₂=4k-6，a₃=2k-2，
∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，∴2a₂=a₁+a₃，
即8k-12=-2k+6+2k-2，∴k=2…（2分）
當k=2時，a_n=2，數(shù)列{a_n}為公差為0的等差數(shù)列．
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，k=2…（4分）
（2）由題意得，a_n=$\frac{kn-3}{n-\frac{3}{2}}$=k+$\frac{\frac{3}{2}k-3}{n-\frac{3}{2}}$，
①當$\frac{3}{2}k-3＞0$，即k＞2時，
當n=1時，a₁=k-（3k-6）=-2k+6＜k，
當n≥2時，數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減，a₂=k+（3k-6）=4k-6＞a₃＞a₄＞…＞a_n＞k，
∴k＞2時，最小項為a₁，最大項為a₂…（7分）
②當$\frac{3}{2}k-3＜0$，即k＜2時，
當n=1時，a₁=-2k+6＞k，
當n≥2時，數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增，a₂=k+（3k-6）=4k-6＜a₃＜a₄＜…＜a_n＜k，
∴k＜2時，最小項為a₂，最大項為a₁
綜上所述，當k＞2時，最小項為a₁，最大項為a₂；
k＜2時，最小項為a₂，最大項為a₁…（10分）
（3）∵a_n＞$\frac{k{2}^{n}+{（-1）}^{n}}{{2}^{n}}$，∴a_n=$\frac{kn-3}{n-\frac{3}{2}}$=k+$\frac{\frac{3}{2}k-3}{n-\frac{3}{2}}$＞k+$\frac{（-1）^{n}}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{\frac{3}{2}k-3}{n-\frac{3}{2}}＞\frac{{（-1）}^{n}}{{2}^{n}}$對任意的正整數(shù)n恒成立．
（i）當n為偶數(shù)時，$\frac{3}{2}k-3＞（n-\frac{3}{2}）•\frac{1}{{2}^{n}}$，
令f（n）=$（n-\frac{3}{2}）•\frac{1}{{2}^{n}}$（n為正偶數(shù)），
∴f（n+1）-f（n）=$（n+2-\frac{3}{2}）•\frac{1}{{2}^{n+2}}$-$（n-\frac{3}{2}）•\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{-3n+\frac{13}{2}}{{2}^{n+2}}$，
顯然得f（2）＜f（4）＞f（6）＞f（8）＞f（10）＞…，
∴$\frac{3}{2}k-3＞f（4）=\frac{5}{32}$，∴k＞$\frac{101}{48}$…（13分）
（ii）當n為奇數(shù)時，
當n=1時，$\frac{\frac{3}{2}k-3}{1-\frac{3}{2}}＞-\frac{1}{2}$，k＜$\frac{13}{6}$…（14分）
當取n≥3的奇數(shù)時，$\frac{3}{2}k-3＞（n-\frac{3}{2}）•\frac{（-1）^{n}}{{2}^{n}}$，不等式右邊恒小于0，
∴$\frac{3}{2}k-3≥0$，∴k≥2，
綜上所述：$\frac{101}{48}＜k＜\frac{13}{6}$…（16分）

點評 本題考查等差中項的性質(zhì)，數(shù)列的函數(shù)特性，以及數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，以及變形化簡能力，綜合性強、難度大．