Question

12．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$n，則a_n=n-2+$\frac{3}{{2}^{n}}$，（n∈N^*）．

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$n，可得a_n+1=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}{a}_{n-1}+\frac{n-1}{2}）+\frac{1}{2}n$=$（\frac{1}{2}）^{2}{a}_{n-1}+\frac{n-1}{{2}^{2}}+\frac{n}{2}$=…=$（\frac{1}{2}）^{n}{a}_{1}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{2}{{2}^{n-1}}$+…$\frac{n-1}{{2}^{2}}$+$\frac{n}{2}$，再利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$n，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}{a}_{n-1}+\frac{n-1}{2}）+\frac{1}{2}n$=$（\frac{1}{2}）^{2}{a}_{n-1}+\frac{n-1}{{2}^{2}}+\frac{n}{2}$=…=$（\frac{1}{2}）^{n}{a}_{1}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{2}{{2}^{n-1}}$+…$\frac{n-1}{{2}^{2}}$+$\frac{n}{2}$
=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{2}{{2}^{n-1}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{2}}$+$\frac{n}{2}$，
∴$\frac{1}{2}{a}_{n+1}$=$\frac{1}{{2}^{n+2}}+\frac{1}{{2}^{n+1}}$+$\frac{2}{{2}^{n}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{3}}$+$\frac{n}{{2}^{2}}$，
∴$-\frac{1}{2}{a}_{n+1}$=$\frac{1}{{2}^{n+2}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{n}{2}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n+1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n}{2}$=$\frac{1}{2}-\frac{3}{{2}^{n+2}}$-$\frac{n}{2}$，
∴a_n+1=n-1+$\frac{3}{{2}^{n+1}}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=n-2+$\frac{3}{{2}^{n}}$，當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴a_n=n-2+$\frac{3}{{2}^{n}}$，（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了變形能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．