Question

6．小華同學(xué)制作了一個(gè)簡(jiǎn)易的網(wǎng)球發(fā)射器，可用于幫忙練習(xí)定點(diǎn)接發(fā)球，如圖1所示，網(wǎng)球場(chǎng)前半?yún)^(qū)、后半?yún)^(qū)總長(zhǎng)為23.77米，球網(wǎng)的中間部分高度為0.914米，發(fā)射器固定安裝在后半?yún)^(qū)離球網(wǎng)底部8米處中軸線上，發(fā)射方向與球網(wǎng)底部所在直線垂直．為計(jì)算方便，球場(chǎng)長(zhǎng)度和球網(wǎng)中間高度分別按24米和1米計(jì)算，發(fā)射器和網(wǎng)球大小均忽略不計(jì)．如圖2所示，以發(fā)射器所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上的球場(chǎng)中軸線上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1米．已知若不考慮球網(wǎng)的影響，網(wǎng)球發(fā)射后的軌跡在方程=$\frac{1}{2}$kx-$\frac{1}{80}$（1+k²）x²（k＞0）表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．發(fā)射器的射程是指網(wǎng)球落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

（1）求發(fā)射器的最大射程；
（2）請(qǐng)計(jì)算k在什么范圍內(nèi)，發(fā)射器能將球發(fā)過(guò)網(wǎng)（即網(wǎng)球飛行到球網(wǎng)正上空時(shí)，網(wǎng)球離地距離大于1米）？若發(fā)射器將網(wǎng)球發(fā)過(guò)球網(wǎng)后，在網(wǎng)球著地前，小明要想在前半?yún)^(qū)中軸線的正上空選擇一個(gè)離地面2.55米處的擊球點(diǎn)正好擊中網(wǎng)球，試問(wèn)擊球點(diǎn)的橫坐標(biāo)a最大為多少？并請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{2}$kx-$\frac{1}{80}$（1+k²）x²=0得：x=$\frac{40k}{1+{k}^{2}}$或x=0，利用基本不等式求發(fā)射器的最大射程；
（2）求出$\frac{1}{2}＜k＜\frac{9}{2}$，依題意：$\frac{1}{2}$ka-$\frac{1}{80}$（1+k²）a²=2.55在（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$）上有實(shí)數(shù)解，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由$\frac{1}{2}$kx-$\frac{1}{80}$（1+k²）x²=0得：x=$\frac{40k}{1+{k}^{2}}$或x=0，…（2分）
由x=$\frac{40}{k+\frac{1}{k}}$≤20，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)．
因此，最大射程為20米；    …（5分）
（2）網(wǎng)球發(fā)過(guò)球網(wǎng)，滿(mǎn)足x=8時(shí)y＞1．
所以4k-$\frac{4}{5}$（1+k²）＞1，即4k²-20k+9＜0，因此$\frac{1}{2}＜k＜\frac{9}{2}$   …（8分）
依題意：關(guān)于k的方程$\frac{1}{2}$ka-$\frac{1}{80}$（1+k²）a²=2.55在（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$）上有實(shí)數(shù)解
即a²k²-40ak+a²+204=0（a≠0）…9分
△=1600a²-4a²（a²+204）≥0得a≤14，…（11分）
此時(shí)k=$\frac{10}{7}$，球過(guò)網(wǎng)了，所以擊球點(diǎn)的橫坐標(biāo) a最大為14  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．