Question

16．設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)（如$[2]=2，[{\frac{5}{4}}]=1$），對(duì)于函數(shù)f（x）=$\frac{{{{2015}^x}}}{{1+{{2015}^x}}}$，函數(shù)$g（x）=[{f（x）-\frac{1}{2}}]+[{f（-x）-\frac{1}{2}}]$的值域是（　　）

• A． {-1，0}
• B． {-1，1}
• C． {0，1}
• D． {-1，0，1}

Answer 1

分析 根據(jù)題意：[x]表示不超過x的最大整數(shù)，先求出f（x）的范圍，再求f（x）-$\frac{1}{2}$的范圍，根據(jù)[$f（x）-\frac{1}{2}$]，[$f（-x）-\frac{1}{2}$]的最大整數(shù)，即可得到g（x）的值域．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{{{{2015}^x}}}{{1+{{2015}^x}}}$=1-$\frac{1}{1+201{5}^{x}}$，∴0＜f（x）＜1
那么：$-\frac{1}{2}$＜f（x）-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$
則：那么：[$f（x）-\frac{1}{2}$]=[$\frac{{{{2015}^x}}}{{1+{{2015}^x}}}$-$\frac{1}{2}$]=0或-1．
f（-x）=$\frac{201{5}^{-x}}{1+201{5}^{-x}}$=$\frac{1}{201{5}^{x}+1}$=1-$\frac{1}{1+201{5}^{x}}$，∴0＜f（-x）＜1
那么：$-\frac{1}{2}$＜f（-x）-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$
[$f（-x）-\frac{1}{2}$]=[$\frac{1}{201{5}^{x}+1}-\frac{1}{2}$]=-1或0．
所以函數(shù)$g（x）=[{f（x）-\frac{1}{2}}]+[{f（-x）-\frac{1}{2}}]$的值域{-1，0}
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義的函數(shù)的應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問題，要靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)求解．屬于中檔題．