Question

已知函數(shù)f（x）=

x2-6x+9

+

x2+8x+16

．
（1）求f（x）≥f（4）的解集；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=k（x-3），k∈R，若f（x）＞g（x）對(duì)任意的x∈R都成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=|x-3|+|x+4|，不等式 f（x）≥f（4）即|x-3|+|x+4|≥9．可得①

x≤-4 3-x-x-4≥9

，或②

-4＜x＜3 3-x+x+4≥9

，或③

x≥3 x-3+x+4≥9

．分別求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得，f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，作函數(shù)y=f（x）和 y=g（x）的圖象如圖，由K_PB=2，A（-4，7），可得 K_PA=-1，數(shù)形結(jié)合求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

x2-6x+9

+

x2+8x+16

=

(x-3)2

+

(x+4)2

=|x-3|+|x+4|，
∴f（x）≥f（4）即|x-3|+|x+4|≥9．
∴①

x≤-4 3-x-x-4≥9

，或②

-4＜x＜3 3-x+x+4≥9

，或③

x≥3 x-3+x+4≥9

．
得不等式①：x≤-5；
解②可得x無解；
解③求得：x≥4．
所以f（x）≥f（4）的解集為{x|x≤-5，或x≥4}．

（2）f（x）＞g（x）對(duì)任意的x∈R都成立，即f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，
∵f（x）=|x-3|+|x+4|=

-2x-1 ，≤-4 7 ，-4＜x＜3 2x+1 ，x≥3

．
由于函數(shù)g（x）=k（x-3）的圖象為恒過定點(diǎn)P（3，0），且斜率k變化的一條直線，
作函數(shù)y=f（x）和 y=g（x）的圖象如圖，其中，K_PB=2，A（-4，7），
∴K_PA=-1．
由圖可知，要使得f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-1，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)由絕對(duì)值的函數(shù)，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．