Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax²-e²x．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線平行于x軸，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x＞0時(shí)，總有f（x）＞-e²x，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（2），由f′（2）=0求得a的值，把a(bǔ)的值代入導(dǎo)函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由零點(diǎn)對函數(shù)的定義域分段，根據(jù)不同區(qū)間段內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）把f（x）的解析式代入f（x）＞-e²x，分離a后構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=-

ex

x2

，由導(dǎo)數(shù)求g（x）的最值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可求．

解答： 解：（1）由f（x）=e^x+ax²-e²x，得：
f′（x）=e^x+2ax-e²，即y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率k=4a=0，
此時(shí)f（x）=e^x-e²x，f′（x）=e^x-e²．
由f′（x）=0，得x=2．
當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由f（x）＞-e²x得：a＞-

ex

x2

．
設(shè)g（x）=-

ex

x2

，x＞0．
則g′(x)=

ex(2-x)

x2

．
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，2）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞2時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減．
∴g(x)≤g(2)=-

e2

4

．
∴a的取值范圍為（-

e2

4

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號見得關(guān)系，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．