Question

已知函數(shù)f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，對任意正整數(shù)n，都有f（0）=1，f（1）=n²+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）記P_n=a₂+a₄+a₈+…+a_2ⁿ（1≤n≤10），若T_n=P_n-n²-5n-5，求數(shù)列{T_n}中的最小項和最大項．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意可得a₀=1，f（1）=a₀+a₁+a₂+…+a_n=n²+1，從而求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）首先化簡P_n=4（2ⁿ-1）-n，則T_n=2ⁿ⁺²-n²-6n-9，（1≤n≤10），令g（x）=2^x+2-x²-6x-9，通過討論這個函數(shù)的單調(diào)性確定數(shù)列{T_n}中的最小項和最大項．

解答： 解：（1）由題意，
f（0）=a₀=1，
f（1）=a₀+a₁+a₂+…+a_n=n²+1，
a_n=n²+1-（（n-1）²+1）=2n-1，n∈N^*，
故a_n=2n-1，n∈N^*，
（2）P_n=a₂+a₄+a₈+…+a_2n
=2×2-1+4×2-1+8×2-1+…+2×2ⁿ-1
=4（2ⁿ-1）-n，
則T_n=P_n-n²-5n-5=4（2ⁿ-1）-n-n²-5n-5
=2ⁿ⁺²-n²-6n-9，（1≤n≤10），
令g（x）=2^x+2-x²-6x-9，
g′（x）=ln2•2^x+2-2x-6，
g″（x）=（ln2）²•2^x+2-2，
當x≥3時，g″（x）=（ln2）²•2^x+2-2≥（ln2）²•2³⁺²-2＞0，
則g′（x）=ln2•2^x+2-2x-6在[3，+∞）上是增函數(shù)，
∴當x≥3時，g′（x）=ln2•2^x+2-2x-6≥ln2•2³⁺²-2×3-6
＞

1

2

×2⁵-12＞0，
故g（x）=2^x+2-x²-6x-9在[3，+∞）上是增函數(shù)，
又∵T_n=2ⁿ⁺²-n²-6n-9，（1≤n≤10），
T₁=2¹⁺²-1²-6-9=-8，
T₂=2²⁺²-2²-12-9=-9，
T₃=2³⁺²-3²-18-9=-4，
T₁₀=2¹⁰⁺²-10²-60-9=3927．
故數(shù)列{T_n}中的最小項為T₂=-9，
最大項為T₁₀=3927．

點評：本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，也考查了函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，屬于難題．