Question

已知

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），M、N是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線PM、PN的斜率分別為k₁，k₂（k₁k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值為1，且橢圓過點(diǎn)（

3

，

1

2

），則橢圓方程為（　�。�

• A、

  x2

  2

  +y2=1
• B、x²+

  y2

  4

  =1
• C、

  x2

  4

  +y2=1
• D、

  x2

  6

  +2y2=1

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先把橢圓的方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，進(jìn)一步求出直線的斜率，利用最小值確定a和b的關(guān)系，最后求出橢圓的方程．

解答： 解：已知

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），M、N是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，
設(shè)：P（acosα，bsinα），M（a，0），N（-a，0），
直線PM、PN的斜率分別為k₁，k₂（k₁k₂≠0），
則：|k₁|+|k₂|=

bsinα

a(1-cosα)

+

bsinα

a(1+cosα)

=

2bsinα

asin2α

=

2b

asinα

≥

2b

a

，
|k₁|+|k₂|的最小值為1，
所以：

2b

a

=1①
由于橢圓過點(diǎn)（

3

，

1

2

），
所以：

3

a2

+

1 4

b2

=1②
由①②得：橢圓的方程為：

x2

4

+y2=1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：橢圓的參數(shù)式方程的應(yīng)用，直線的斜率的應(yīng)用，三角函數(shù)的變換，橢圓方程的確定．