Question

16．設函數(shù)f（x）=x-ae^x-1（常數(shù)a∈R）
（Ⅰ）若f（x）≤0對任意x∈R恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）對任意的n個正實數(shù)a₁，a₂，…，a_n，記A=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$，求證：A≥$\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$．

Answer 1

分析 （I）對函數(shù)求導，針對于a的值進行討論，得到函數(shù)的單調區(qū)間．知道當a≤0時，f（x）≤0不恒成立，又當a＞0時，f（x）在點x=1-lna處取最大值，求出a的范圍．
（Ⅱ）若f（x）在定義域內是凸函數(shù)，則nf（$\frac{{x}_{1+}{x}_{2}+…{x}_{n}}{n}$）≥f（x₁）+f（x₂）+…f（x_n），由此可得結論．

解答 解：（I）f′（x）=1-ae^x-1，
當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在R上是增函數(shù)，f（x）≤0不恒成立；
當a＞0時，令f′（x）=0得x=1-lna，
若x＜1-lna，則f′（x）＞0，從而f（x）在區(qū)間（-∞，1-lna）上是增函數(shù)；
若x＞1-lna，則f′（x）＜0，從而f（x）在區(qū)間（1-lna，+∞上是減函數(shù)．
∴f（x）在點x=1-lna處取最大值，
且f（1-lna）=1-lna-ae^-lna=-lna，
令-lna＜0得a≥1，
故若f（x）≤0對x∈R恒成立，則a的取值范圍是[1，+∞）；
（Ⅱ）證明：若f（x）在定義域內是凸函數(shù)，則nf（$\frac{{x}_{1+}{x}_{2}+…{x}_{n}}{n}$）≥f（x₁）+f（x₂）+…f（x_n）
令f（x）=lgx 顯然，lgx在定義域內是凸函數(shù)．
∴nlg（$\frac{{a}_{1}+{a}_{2+}..+{a}_{n}}{n}$）≥lga₁+lga₂+lga₃…lga_n=lga₁a₂..a_n．
也即lg（$\frac{{a}_{1}+{a}_{2+}..+{a}_{n}}{n}$）≥$\frac{1}{n}$lga₁a₂..a_n，
所以$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$≥$\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$．

點評 本題考查不等式的證明，考查求函數(shù)的單調區(qū)間和解決函數(shù)恒成立的問題，解題時注意函數(shù)的單調性是解決最值的必經途徑，注意數(shù)字的運算．