Question

5．如圖，某城市小區(qū)有一個(gè)矩形休閑廣場(chǎng)，AB=20米，廣場(chǎng)的一角是半徑為16米的扇形BCE綠化區(qū)域，為了使小區(qū)居民能夠更好的在廣場(chǎng)休閑放松，現(xiàn)決定在廣場(chǎng)上安置兩排休閑椅，其中一排是穿越廣場(chǎng)的雙人靠背直排椅MN（寬度不計(jì)），點(diǎn)M在線段AD上，并且與曲線CE相切；另一排為單人弧形椅沿曲線CN（寬度不計(jì)）擺放．已知雙人靠背直排椅的造價(jià)每米為2a元，單人弧形椅的造價(jià)每米為a元，記銳角∠NBE=θ，總造價(jià)為W元．
（1）試將W表示為θ的函數(shù)W（θ），并寫(xiě)出cosθ的取值范圍；
（2）如何選取點(diǎn)M的位置，能使總造價(jià)W最�。�

Answer 1

分析 （1）過(guò)N作AB的垂線，垂足為F；過(guò)M作NF的垂線，垂足為G．構(gòu)建直角三角形，通過(guò)解直角三角形、勾股定理和弧長(zhǎng)公式進(jìn)行解答；
（2）將（1）中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行變形得到${W^，}（θ）=8a\frac{（2cosθ-1）（cosθ-2）}{{{{sin}^2}θ}}$．W′（θ）=0，$cosθ=\frac{1}{2}$，因?yàn)?（{θ_1}，\frac{π}{2}）$，所以$θ=\frac{π}{3}$．然后結(jié)合θ的取值范圍進(jìn)行分類討論，利用三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答．

解答 解：（1）過(guò)N作AB的垂線，垂足為F；過(guò)M作NF的垂線，垂足為G．
在Rt△BNF中，BF=16cosθ，則MG=20-16cosθ
在Rt△MNG中，$MN=\frac{20-16cosθ}{sinθ}$，
由題意易得$CN=16（\frac{π}{2}-θ）$，
因此，$W（θ）=2a•\frac{20-16cosθ}{sinθ}+16a（\frac{π}{2}-θ）$，$cosθ∈（0，\frac{4}{5}]$；
（2）${W^，}（θ）=-16a+8a\frac{4-5cosθ}{{{{sin}^2}θ}}\;=8a\frac{（2cosθ-1）（cosθ-2）}{{{{sin}^2}θ}}$
令W′（θ）=0，$cosθ=\frac{1}{2}$，因?yàn)?（{θ_1}，\frac{π}{2}）$，所以$θ=\frac{π}{3}$．
設(shè)銳角θ₁滿足$cos{θ_1}=\frac{4}{5}$，${θ_1}∈（0，\frac{π}{3}）$
當(dāng)$θ∈（{θ_1}，\frac{π}{3}）$時(shí)，W，（θ）＜0，W（θ）單調(diào)遞減；
當(dāng)$θ∈（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$時(shí)，W，（θ）＞0，W（θ）單調(diào)遞增．
所以當(dāng)$θ=\frac{π}{3}$，總造價(jià)W最小，最小值為$（16\sqrt{3}+\frac{8π}{3}）a$，
此時(shí)$MN=8\sqrt{3}$，$NG=4\sqrt{3}$，$NF=8\sqrt{3}$，
因此當(dāng)$AM=4\sqrt{3}$米時(shí)，能使總造價(jià)最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型及解三角形，根據(jù)已知條件構(gòu)造出W關(guān)于θ的函數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．