Question

已知橢圓

x2

4

+y²=1，若此橢圓上存在不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=2x+m對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A、(-

  3 3

  2

  ，

  3 2

  2

  )
• B、（-

  3 2

  2

  ，

  3 2

  2

  ）
• C、（-

  2

  2

  ，

  3 2

  2

  ）
• D、（-

  3 2

  2

  ，

  2

  2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀）．根據(jù)此橢圓上存在不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=2x+m對(duì)稱，
可設(shè)直線AB的方程可設(shè)為y=-

1

2

x+t．與橢圓方程聯(lián)立可得△＞0，及其根與系數(shù)的關(guān)系，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得
M(t，

1

2

t)．代入直線y=2x+m，解得t=-

2m

3

．代入△＞0即可解出．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀）．
∵此橢圓上存在不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=2x+m對(duì)稱，
∴直線AB的方程可設(shè)為y=-

1

2

x+t．
聯(lián)立

y=- 1 2 x+t x2+4y2=4

，化為x²-2tx+2t²-2=0．
△=4t²-4（2t²-2）＞0，解得t²＜2（*）．
∴x₁+x₂=2t，
∴x₀=t，y₀=-

1

2

t+t=

1

2

t．
∴M(t，

1

2

t)．
代入直線y=2x+m可得：

1

2

t=2t+m，解得t=-

2m

3

．
代入（*）可得：(-

2m

3

)2＜2，解得-

3 2

2

＜m＜

3 2

2

．
∴m的取值范圍是-

3 2

2

＜m＜

3 2

2

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、△＞0、軸對(duì)稱問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．