Question

定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，（x-1）•f′（x）-f（x）（x-1）′＞0恒成立，若a=f（2），b=

1

2

f（3），c=

1

2 -1

f（

2

），則a，b，c的大小關(guān)系是（　�。�

• A、c＜a＜b
• B、a＜b＜c
• C、b＜a＜c
• D、a＜c＜b

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,不等式比較大小

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令F（x）=

f(x)

x-1

，可知F（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；且a=f（2）=

f(2)

2-1

=F（2），b=

1

2

f（3）=F（3），c=

1

2 -1

f（

2

）=F（

2

）比較函數(shù)值的大�。�

解答： 解：令F（x）=

f(x)

x-1

，則
∵x∈（1，+∞）時(shí)，（x-1）•f′（x）-f（x）（x-1）′＞0恒成立，
∴F′（x）=

f′(x)(x-1)-f(x)(x-1)′

(x-1)2

＞0
∴F（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
又∵a=f（2）=

f(2)

2-1

=F（2），b=

1

2

f（3）=F（3），c=

1

2 -1

f（

2

）=F（

2

），
且

2

＜2＜3，
∴F（

2

）＜F（2）＜F（3）．
即c＜a＜b．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題通過構(gòu)造函數(shù)，化三個(gè)值為三個(gè)函數(shù)值，從而由函數(shù)的單調(diào)性判定大小，屬于難題，關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)．