12.設(shè)函數(shù)f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n為正整數(shù),a,b為常數(shù).曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為x+y=1.函數(shù)g(x)=$\frac{{e}^{x}}{a{x}^{2}}$
(1)求a,b的值; 
(2)求曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程.

分析 (1)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率,由切線方程可得′(1)=-a=-1,可得a=1,由f(1)=b=0;
(2)求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),求得切線的斜率和切點(diǎn),由點(diǎn)斜式方程,即可得到切線方程.

解答 解(1)因?yàn)閒(1)=b,由點(diǎn)(1,b)在x+y=1上,可得1+b=1可得b=0,
因?yàn)閒′(x)=an(1-x)xn-1-axn,所以f′(1)=-a,
又因?yàn)榍芯x+y=1的斜率為-1,所以-a=-1可得a=1,
所以a=1,b=0;
(2)函數(shù)g(x)=$\frac{{e}^{x}}{a{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$,
g′(x)=$\frac{{x}^{2}{e}^{x}-2x{e}^{x}}{{x}^{4}}$,
即有曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線斜率為g′(1)=-e,
切點(diǎn)為(1,e),
則曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程為y-e=-e(x-1),
即為切線方程ex+y-2e=0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線方程,主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

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