Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，過(guò)點(diǎn)P（1，1）作一條直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)P恰為線段AB中點(diǎn)時(shí)，直線l的方程為3x+4y-7=0．

Answer 1

分析 利用“點(diǎn)差法”、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，
∴3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．
∵P（1，1）恰為線段AB的中點(diǎn)，即有x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
∴3（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴直線AB的斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
∴直線AB的方程為y-1=-$\frac{3}{4}$（x-1），
即3x+4y-7=0．
由于P在橢圓內(nèi)，故成立．
故答案為：3x+4y-7=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“點(diǎn)差法”、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式，屬于中檔題．