Question

20．設(shè)命題p：“直線x+y-m=0與圓（x-1）²+y²=1不相交”，命題q：“mx²-x-4=0有一正根和一負(fù)根．”如果p∨q為真且p∧q為假，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 對命題P：直線x+y-m=0與圓（x-1）²+y²=1不相交，可得圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系：$\frac{|1+0-m|}{\sqrt{2}}$≥1，解出m的取值范圍．對命題q：則又題意得m≠0，△=1+16m＞0，$\frac{-4}{m}$＜0，解得m范圍．由于p∨q為真且p∧q為假，可知P與q有且只有一個命題為真命題．求出即可．

解答 解：對命題P：直線x+y-m=0與圓（x-1）²+y²=1不相交，∴$\frac{|1+0-m|}{\sqrt{2}}$≥1，解得$m＞1+\sqrt{2}$或m＜1-$\sqrt{2}$．
p為真命題時m的取值范圍是：A=$\{m|m＜1-\sqrt{2}或m＞1+\sqrt{2}\}$．
對命題q：則由題意得m≠0，△=1+16m＞0，$\frac{-4}{m}$＜0，解得m＞0．
q為真命題時m的取值范圍是：B={m|m＞0}．
∵p∨q為真且p∧q為假，
可知P與q有且只有一個命題為真命題．
若P假q真時，∁_RA∩B={m|m$＜1-\sqrt{2}$}；
若P真q假時，A∩∁_RB={m|$0＜m≤1+\sqrt{2}$}，
綜述：m的取值范圍是：{m|m$＜1-\sqrt{2}$或$0＜m≤1+\sqrt{2}$}．

點評 本題考查了復(fù)合命題真假的判定方法、直線與圓的位置關(guān)系、一元二次方程有實數(shù)根的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．