Question

7．已知F是拋物線C：x²=4y的焦點，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為拋物線C上不同的兩點，l₁，l₂分別是拋物線C在點A、點B處的切線，P（x₀，y₀）是l₁，l₂的交點．
（1）當直線AB經過焦點F時，求證：點P在定直線上；
（2）若|PF|=2，求|AF|•|BF|的值．

Answer 1

分析 （1）當直線AB經過焦點F時，求出切線PA，PB的方程，可得P的坐標，即可證明：點P在定直線上；
（2）設直線AB的方程為y=kx+m，代入C：x²=4y得x²-4kx-4m=0，求出P的坐標，利用韋達定理，即可求|AF|•|BF|的值．

解答 （1）證明：拋物線$C：y=\frac{x^2}{4}$，則$y'=\frac{x}{2}$，
∴切線PA的方程為$y-{y_1}=\frac{x_1}{2}（x-{x_1}）$，即$y=\frac{x_1}{2}x-\frac{x_1^2}{4}$，
同理切線PB的方程為$y=\frac{x_2}{2}x-\frac{x_2^2}{4}$，
聯(lián)立得點P$（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}}）$，
設直線AB的方程為y=kx+1，代入C：x²=4y得x²-4kx-4=0．所以x₁x₂=-4
所以點P在直線y=-1上；
（2）證明：設直線AB的方程為y=kx+m，
代入C：x²=4y得x²-4kx-4m=0．x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，所以P（2k，-m），$|{PF}|=\sqrt{4{k^2}+{{（{m+1}）}^2}}=2⇒{（{m+1}）^2}=4-4{k^2}$，$|{AF}|•|{BF}|=（{y_1}+1）（{y_2}+1）=（{k{x_1}+m+1}）（{k{x_2}+m+1}）={k^2}{x_1}{x_2}+k（{m+1}）（{{x_1}+{x_2}}）+{（{m+1}）^2}$
=-4mk²+4k²（m+1）+4-4k²=4．

點評 本題考查拋物線的方程與性質，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．