Question

已知函數(shù)f（x）=|x-2a|+|x-a|，a∈R，a≠0．
（Ⅰ）當a=1時，解不等式：f（x）＞2；
（Ⅱ）若b∈R且B≠0，證明：f（b）≥f（a），并說明等號成立時滿足的條件．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）將a=1代入，不等式化為具體的絕對值不等式，然后討論解之；
（Ⅱ）由題知f（a）=|a|，f（b）=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|≥|2a-b+b-a|=|a|，得證．

解答： 解：（Ⅰ）因為a=1，所以原不等式f（x）＞2為|x-2|+|x-1|＞2．
當x≤1時，原不等式化簡為1-2x＞0，即x＜

1

2

；當1＜x≤2時，原不等式化簡為1＞2，即x∈∅；
當x＞2時，原不等式化簡為2x-3＞2，即x＞

5

2

．
綜上，原不等式的解集為{x|x＜

1

2

或x＞

5

2

}．…（5分）
（Ⅱ）由題知f（a）=|a|，
f（b）=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|≥|2a-b+b-a|=|a|，
所以f（b）≥f（a），（8分）
又等號成立當且僅當2a-b與b-a同號或它們至少有一個為零．…（10分）

點評：本題考查了絕對值不等式的解法；考查了討論的數(shù)學思想．