Question

【題目】已知數列{an}是首項 ，公比 的等比數列．設 （n∈N*）． （Ⅰ）求證：數列{bn}為等差數列；
（Ⅱ）設cn=an+b2n ， 求數列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵數列{an}是首項 ，公比 的等比數列， ∴ ，則 = ．
∴bn+1﹣bn=[2（n+1）﹣1]﹣（2n﹣1）=2．
則數列{bn}是以2為公差的等差數列；
（Ⅱ）解：cn=an+b2n= ．
∴數列{cn}的前n項和Tn=c1+c2+…+cn=[ ]+4（1+2+…+n）﹣n
= = = ．
【解析】（Ⅰ）由已知求出等比數列的通項公式，代入 可得數列{bn}的通項公式，由等差數列的定義證明數列{bn}為等差數列；（Ⅱ）把數列{an}、{bn}的通項公式代入cn=an+b2n ， 分組后再由等差數列與等比數列的前n項和求數列{cn}的前n項和Tn ．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．