Question

1．已知m＞0，n＞0，若直線（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓（x-1）²+（y-1）²=1相切，則m+n的取值范圍是[2+2$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，由直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)系式，整理后利用基本不等式變形，設(shè)m+n=x，得到關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為m+n的范圍．

解答 解：由圓的方程（x-1）²+（y-1）²=1，得到圓心坐標(biāo)為（1，1），半徑r=1，
∵直線（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓相切，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|m+n|}{\sqrt{（m+1）^{2}+（n+1）^{2}}}$=1，
整理得：m+n+1=mn≤（$\frac{m+n}{2}$）_²，
設(shè)m+n=x（x＞0），則有x+1≤$\frac{{x}^{2}}{4}$，即x²-4x-4≥0，
解得：x≥2+2$\sqrt{2}$，
則m+n的取值范圍為[2+2$\sqrt{2}$，+∞）．
故答案為[2+2$\sqrt{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了轉(zhuǎn)化及換元的思想，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．