Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E為CD中點(diǎn)．
（1）求證：AD₁⊥B₁E；
（2）若AB=2，求平面AB₁E把長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁分成的兩部分幾何體的體積的比值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：作圖題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）作輔助線B₁C和A₁D，證明AD₁⊥面A₁B₁CD，從而證明AD₁⊥B₁E；（2）利用體積公式求解．

解答： 解：（1）連B₁C和A₁D
由長方體的性質(zhì)可知CD⊥平面A₁ADD₁，從而CD⊥A₁D

又AA₁=AD=1，所以四邊形AA₁D₁D是正方形
所以AD₁⊥A₁D
因?yàn)镃D∩A₁D=D，所以AD₁⊥面A₁B₁CD
因?yàn)锽₁E?面A₁B₁CD，所以AD₁⊥B₁E
（2）取C₁C中點(diǎn)F，連EF和B₁F
易證EF||AB₁，所以平面AB₁E即為平面AEFB₁，其把長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁分成兩部分．
連BF，則VF-ABCE=

1

3

SABCE•FC=

1

3

×

1

2

×(1+2)×1×

1

2

=

1

4

VF-ABB1=

1

3

SABB1•BC=

1

3

×

1

2

×2×1×1=

1

3

所以幾何體CEF-ABB₁的體積VCEF-ABB1=

1

4

+

1

3

=

7

12

而長方體的體積V=2×1×1=2
所以平面AB₁E把長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁分成的兩部分
幾何體的體積的比等于

7 12

2- 1 12

=

7

17

點(diǎn)評(píng)：考查了空間中線線垂直、線面垂直的證明與性質(zhì)，及幾何體的體積求法．屬于中檔題．