在如圖所示的多面體ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1。
(1)請在線段CE上找到一點F,使得直線BF∥平面ACD,并證明;
(2)求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大;
(1)詳見解析;(2)
解析試題分析:(1)若的線∥面,且,由線面平行的性質定理可知 ∥,即若證得 ∥,則可證得∥面。由已知可知∥且,則點為中點時根據(jù)平行四邊形可證得 ∥。(2)設所求的二面角的大小為,則。(也可用空間向量法)
解法一:以D點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,使得軸和軸的正半軸分別經過點A和點E,則各點的坐標為,,,,,
(1)點F應是線段CE的中點,下面證明:
設F是線段CE的中點,則點F的坐標為
,∴
,而是平面ACD的一個法向量,
此即證得BF∥平面ACD; 6分
(2)設平面BCE的法向量為,則,且,
由,,
∴,不妨設,則,即,
∴所求角滿足,∴; 13分
解法二:(1)由已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,∴AB//ED,
設F為線段CE的中點,H是線段CD的中點,
連接FH,則,∴,
∴四邊形ABFH是平行四邊形,∴,
由平面ACD內,平面ACD,平面ACD
(2)由已知條件可知即為在平面ACD上的射影,設所求的二面角的大小為,則,
易求得BC=BE,CE,∴,
而,∴,且,∴
考點:1線線平行、線面平行;2二面角。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖幾何體中,四邊形ABCD為矩形,AB=3BC=6,EF =4,BF=CF=AE=DE=2, EF∥AB,G為FC的中點,M為線段CD上的一點,且CM =2.
(1)證明:平面BGM⊥平面BFC;
(2)求三棱錐F-BMC的體積V.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為菱形,△PAD為等邊三角形,平面PAD⊥平面ABCD,且∠DAB=60°,AB=2,E為AD的中點.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求點E到平面PBC的距離.
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在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,D、E分別是棱A1B1、AA1的中點,點F在棱AB上,且.
(1)求證:EF∥平面BDC1;
(2)求證:平面.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(12分)(2011•重慶)如圖,在四面體ABCD中,平面ABC⊥ACD,AB⊥BC,AD=CD,∠CAD=30°
(Ⅰ)若AD=2,AB=2BC,求四面體ABCD的體積.
(Ⅱ)若二面角C﹣AB﹣D為60°,求異面直線AD與BC所成角的余弦值.
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如圖,,為圓柱的母線,是底面圓的直徑,,分別是,的中點,.
(1)證明:;
(2)證明:;
(3)假設這是個大容器,有條體積可以忽略不計的小魚能在容器的任意地方游弋,如果魚游到四棱錐 內會有被捕的危險,求魚被捕的概率.
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如圖,三棱柱的側棱平面,為等邊三角形,側面是正方形,是的中點,是棱上的點.
(1)若是棱中點時,求證:平面;
(2)當時,求正方形的邊長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在正方體中,,為的中點,為的中點.
(1)求證:平面平面;
(2)求證:平面;
(3)設為正方體棱上一點,給出滿足條件的點的個數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,長方體中,,G是上的動點。
(l)求證:平面ADG;
(2)判斷與平面ADG的位置關系,并給出證明;
(3)若G是的中點,求二面角G-AD-C的大;
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