Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若存在與函數(shù)，的圖象都相切的直線，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）對h（x）求導(dǎo)，得，對，分別討論，得單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)f（x）在點（x1，f（x1））與g（x）在點（x2，f（x2））處切線相同，則，分別求得導(dǎo)數(shù)和切線的斜率，構(gòu)造新函數(shù) ，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，最值，運用單調(diào)性計算可得a的范圍．

（1）函數(shù)的定義域為,，

所以

所以當(dāng)即時，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)即時，

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，令得

	+	-	+
	增	減	增

綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（2）設(shè)函數(shù)在點與函數(shù)在點處切線相同，

，則，

由，得，再由

得，把代入上式得

設(shè)（∵x2＞0，∴x∈（0，+∞））,

則 不妨設(shè).

當(dāng)時，，當(dāng)時，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

把代入可得：

設(shè)，則對恒成立，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又

所以當(dāng)時，即當(dāng)時,

又當(dāng)時，

因此當(dāng)時，函數(shù)必有零點；即當(dāng)時，必存在使得成立；

即存在使得函數(shù)在點與函數(shù)在點處切線相同．

又由單調(diào)遞增得，因此

所以實數(shù)的取值范圍是．