Question

【題目】已知函數(shù)，

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，()，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）去絕對(duì)值，分為時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系得其單調(diào)性；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；則必有，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為，進(jìn)一步得出和，從而得出答案.

試題解析：(1)依題意有，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)， ， ，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為， 當(dāng)時(shí)， ，若， ，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增， 若， ，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為

(2)由(1)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；則必有， 此時(shí)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，由題意，必須，解得由， ，得，而，下面證明： 時(shí)，

設(shè)，()，則，所以在時(shí)遞增，則，所以，又因?yàn)?/span>，所以，綜上所述， .