Question

【題目】PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3095﹣2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75毫克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．從某自然保護(hù)區(qū)2012年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)值數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如表所示：

PM2.5日均值 （微克/立方米）	[25，35]	（35，45]	（45，55]	（55，65]	（65，75]	（75，85]
頻數(shù)	3	1	1	1	1	3

（1）從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取3天，求恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；
（2）從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列；
（3）以這10天的PM2.5日均值來(lái)估計(jì)一年的空氣質(zhì)量狀況，則一年（按366天算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)．（精確到整數(shù)）

Answer 1

【答案】
（1）解：由表格可知：這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有3天達(dá)到一級(jí)．

∴隨機(jī)抽取3天，恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率P= =

（2）解：由題意可得ξ=0，1，2，3．

則P（ξ=3）= = ，P（ξ=2）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=0）= = ．

所以其分布列為：

ξ	0	1	2	3
P（ξ）

（3）解：一年（按366天算）中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率為P=0.7，

一年（按366天算）中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)為η，則η～B（366，0.7），

∴Eη=366×0.7=256.2≈256，

∴一年（按366天算）中平均有256天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)

【解析】（1）由表格可知：這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有3天達(dá)到一級(jí)，設(shè)“達(dá)到一級(jí)”為事件A，若隨機(jī)抽取3天，恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率，利用二項(xiàng)分布即可得．（2）利用“超幾何分布”即可得出；（3）由表格可知：這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有3天達(dá)到一級(jí)，只有4天達(dá)到二級(jí)，因此這10天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率，利用數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式即可得出．