Question

7．按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？
（1）4個(gè)不同的小球，放入4個(gè)不同的盒子，恰有1個(gè)盒子不放球
（2）4個(gè)不同的小球，放入4個(gè)不同的盒子，恰有2個(gè)盒子不放球．

Answer 1

分析 （1）由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，先選一個(gè)不放球的盒子，再在放球的3個(gè)盒子中選一個(gè)用來放兩個(gè)球，在四個(gè)球中選2個(gè)放進(jìn)第二步選中的盒子中，最后把剩下的兩個(gè)球放進(jìn)剩下的兩個(gè)盒子里，一個(gè)盒子一個(gè)球，利用分步計(jì)數(shù)原理，即可得到結(jié)論；
（2）先選出兩個(gè)空盒，再將4個(gè)不同的小球放入另外兩個(gè)不同的盒子內(nèi)．

解答 解：（1）由題意，第一步先選一個(gè)不放球的盒子有4種情況，
第二步在放球的3個(gè)盒子中選一個(gè)用來放兩個(gè)球有3種情況，
第三步在四個(gè)球中選2個(gè)放進(jìn)第二步選中的盒子中有C₄²=6種情況，
第四步把剩下的兩個(gè)球放進(jìn)剩下的兩個(gè)盒子里，一個(gè)盒子一個(gè)球有2種情況
所以放法總數(shù)為4×3×6×2=144；
（2）恰有2個(gè)盒子內(nèi)不放球，也就是把4個(gè)小球只放入2個(gè)盒子內(nèi)，先選出兩個(gè)空盒，有${C}_{4}^{2}$=6種方法，再將4個(gè)不同的小球放入另外兩個(gè)不同的盒子內(nèi)，有2⁴=16種方法，
其中4個(gè)不同的小球放入同一盒子里有兩種放法，
所以將4個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子內(nèi)，恰有兩個(gè)空盒的放法有6×（16-2）=84種．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分步計(jì)數(shù)問題，在分步時(shí)，要做到所分成的層次分明，計(jì)數(shù)合理，關(guān)鍵是先選出不放球的盒子，本題是一個(gè)中檔題．