Question

8．若實(shí)數(shù)a和b滿足2×4^a-2^a•3^b+2×9^b=2^a+3^b+1，則2^a+3^b的取值范圍為（1，2]．

Answer 1

分析 令2^a=x＞0，3^b=y＞0，x+y=t＞0，則2×4^a-2^a•3^b+2×9^b=2^a+3^b+1，化為5x²-5tx+2t²-t-1=0，令f（x）=5x²-5tx+2t²-t-1，可得：f（0）=2t²-t-1＞0，△=25t²-20（2t²-t-1）≥0，解出即可．

解答 解：令2^a=x＞0，3^b=y＞0，x+y=t＞0，
則2×4^a-2^a•3^b+2×9^b=2^a+3^b+1，
化為2x²-xy+2y²=x+y+1，
即5x²-5tx+2t²-t-1=0，
令f（x）=5x²-5tx+2t²-t-1，
則f（0）=2t²-t-1＞0，△=25t²-20（2t²-t-1）≥0，
解得1＜t≤2，
∴2^a+3^b的取值范圍為（1，2]，
故答案為：（1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．