Question

14．已知等比數(shù)列{a_n}滿足a₂=2，a₃=1，則$\lim_{n→+∞}（{a_1}{a_2}+{a_2}{a_3}+…+{a_n}{a_{n+1}}）$=$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 利用a₂=2，a₃=1，兩式相除可求得q，根據(jù)a₂=2進(jìn)而可求得a₁再根據(jù)數(shù)列{a_na_n+1}為以q²為公比，8為首項等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，進(jìn)而答案可得．

解答 解：a₂=2，a₃=1，解得q=$\frac{1}{2}$，
得a₁=4，a₁a₂，a₂a₃，…，a_na_n+1，是公比為$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，首項為：8．
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{8（1-{（\frac{1}{4}）}^{n}）}{1-\frac{1}{4}}$．
則$\lim_{n→+∞}（{a_1}{a_2}+{a_2}{a_3}+…+{a_n}{a_{n+1}}）$=$\frac{8}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{32}{3}$．
故答案為：$\frac{32}{3}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的極限．求解數(shù)列的和，利用極限的運算法則求解是解題的關(guān)鍵．