Question

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，與的交點(diǎn)為，為側(cè)棱上一點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)為側(cè)棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）（理科）當(dāng)二面角的大小為時(shí)，試判斷點(diǎn)在上的位置，并說明理由.

Answer 1

（文答案）證明：（Ⅰ）連接，由條件可得∥.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175410194267.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，

所以∥平面.       ----------------------（6分）
（Ⅱ）證明：由已知可得，,是中點(diǎn)，
所以，
又因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175409383301.gif" style="vertical-align:middle;" />是正方形，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175410647411.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175411037428.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以平面平面.   --------（12分）
（理答案）（Ⅰ）證明：連接，由條件可得∥.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175410194267.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以∥平面.          ----------------------（4分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)四棱錐的底面邊長為2，
則，，，
，，
.
所以，.
設(shè)（），由已知可求得.
所以，.
設(shè)平面法向量為，
則即  
令，得. 
易知是平面的法向量.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175412488963.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以，所以平面平面.     -----------（8分）
（Ⅲ）解：設(shè)（），由（Ⅱ）可知，
平面法向量為.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175412940504.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以是平面的一個(gè)法向量.
由已知二面角的大小為.
所以，
所以，解得.
所以點(diǎn)是的中點(diǎn).     ---------（12分）  

略