分析 將式子x+y+z寫(xiě)成4•$\frac{x-1}{4}$+$\sqrt{5}$•$\frac{y+2}{\sqrt{5}}$+2•$\frac{z-3}{2}$+2的形式是解決本題的關(guān)鍵,再運(yùn)用柯西不等式求該式的最大值和最小值.
解答 解:∵x+y+z=4•$\frac{x-1}{4}$+$\sqrt{5}$•$\frac{y+2}{\sqrt{5}}$+2•$\frac{z-3}{2}$+2,
根據(jù)柯西不等式,(x1x2+y1y2+z1z2)2≤(x12+y12+z12)•(x22+y22+z22)得,
(4•$\frac{x-1}{4}$+$\sqrt{5}$•$\frac{y+2}{\sqrt{5}}$+2•$\frac{z-3}{2}$)2≤(16+5+4)•[$\frac{(x-1)^2}{16}+\frac{(y+2)^2}{5}+\frac{(z-3)^2}{4}$]=25,
所以,|4•$\frac{x-1}{4}$+$\sqrt{5}$•$\frac{y+2}{\sqrt{5}}$+2•$\frac{z-3}{2}$|≤5,
即-5≤4•$\frac{x-1}{4}$+$\sqrt{5}$•$\frac{y+2}{\sqrt{5}}$+2•$\frac{z-3}{2}$≤5,
因此,x+y+z∈[-3,7],
故,x+y+z的最大值為7,最小值為-3.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了柯西不等式在求最值中的應(yīng)用,尤其是通過(guò)合理變形找到條件和目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián),需要一定的觀(guān)察能力和計(jì)算技巧,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $[-\frac{{\sqrt{2}}}{4},\frac{{\sqrt{2}}}{4}]$ | B. | $[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}]$ | C. | $[-\frac{{\sqrt{2}}}{2},\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$ | D. | $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ |
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A. | (1,2] | B. | [0,1)∪(2,+∞) | C. | [0,1] | D. | [0,2] |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 最大值10 | B. | 最小值-5 | C. | 最小值-4 | D. | 最大值5 |
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