Question

17．函數(shù)f（x）=b（1-$\frac{2}{1+{2}^{x}}$）+$\frac{a•（{4}^{x}-1）}{{2}^{x}}$+3（a、b為常數(shù)），若f（x）在（0，+∞）上有最大值11，則f（x）在（-∞，0）上有（　�。�

• A． 最大值10
• B． 最小值-5
• C． 最小值-4
• D． 最大值5

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=b（1-$\frac{2}{1+{2}^{x}}$）+$\frac{a•（{4}^{x}-1）}{{2}^{x}}$，判斷奇偶性，可得g（x）的最值之和為0，由題意可得g（x）在（0，+∞）上有最大值8，最小值-8，進(jìn)而得到所求最小值-5．

解答 解：設(shè)g（x）=b（1-$\frac{2}{1+{2}^{x}}$）+$\frac{a•（{4}^{x}-1）}{{2}^{x}}$
=b•$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$+a（2^x-2^-x），
由g（-x）=b•$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$+a（2^-x-2^x）
=b•$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$+a（2^-x-2^x）=-g（x），
可得g（x）為奇函數(shù)，
由f（x）=g（x）+3，f（x）在（0，+∞）上有最大值11，
可得g（x）在（0，+∞）上有最大值11-3=8；
則g（x）在（-∞，0）上有最小值-8，
即有f（x）在（-∞，0）上有最小值為-8+3=-5．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法．考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．