Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，設(shè)底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥面ABCD．

（1）求證：PC⊥BD；
（2）過(guò)BD且與直線PC垂直的平面與PC交于點(diǎn)E，當(dāng)三棱錐E﹣BCD的體積最大時(shí)，求二面角E﹣BD﹣C的大�。�

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，PA⊥平面ABCD，

由此推出PA⊥BD，

又AC∩PA=A，

∴BD⊥平面PAC，而PC平面PAC，所以推出PC⊥BD

（2）解：設(shè)PA=x，三棱錐E﹣BCD的底面積為定值，求得它的高 ，

當(dāng) ，即 時(shí)，h最大值為 ，三棱錐E﹣BCD的體積達(dá)到最大值為 ．

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，PA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 ，令E（x，y，z）， ， ，得 ，∴ ，

設(shè) 是平面EBD的一個(gè)法向量， ， ，

則 ，得 ．

又 是平面BCD的一個(gè)法向量，

∴ ，∴二面角E﹣BD﹣C為

【解析】（1）證明BD⊥AC，PA⊥BD，即可證明BD⊥平面PAC，然后推出PC⊥BD．（2）設(shè)PA=x，三棱錐E﹣BCD的底面積為定值，求得它的高 ，求出三棱錐E﹣BCD的體積的最大值，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，PA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面EBD的一個(gè)法向量，平面BCD的一個(gè)法向量，利用向量的數(shù)量積求解即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的性質(zhì)，需要了解垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行才能得出正確答案．