【題目】中,為的中點,為外心,點滿足.
(1)證明:;
(2)若,設(shè)與相交于點,關(guān)于點對稱,且,求的取值范圍.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)根據(jù)平面向量的加法與減法運算,化簡即可求解.
(2)根據(jù)題意,可得.而為的中點,與重合,為的重心,建立平面直角坐標(biāo)系, 設(shè),,寫出各個點的坐標(biāo),表示出與,即可根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義用三角函數(shù)式表示出來.利用輔助角公式,即可求得的取值范圍.
(1)證明:為的中點,為外心,點滿足
根據(jù)平面向量的減法運算可得
而
則代入可得
即
(2)由,
兩邊同時平方,展開化簡可得
所以.此時為的中點,與重合,為的重心,
如圖建立平面直角坐標(biāo)系,
設(shè),則,且
設(shè),則,
則有,,
且.
設(shè)
∴
.
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,
即
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【題目】如圖,馬路南邊有一小池塘,池塘岸長40米,池塘的最遠(yuǎn)端到的距離為400米,且池塘的邊界為拋物線型,現(xiàn)要在池塘的周邊建一個等腰梯形的環(huán)池塘小路,且均與小池塘岸線相切,記.
(1)求小路的總長,用表示;
(2)若在小路與小池塘之間(圖中陰影區(qū)域)鋪上草坪,求所需鋪草坪面積最小時,的值.
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動力和煤、電耗如下表:
產(chǎn)品品種 | 勞動力 | 煤噸 | 電千瓦 |
A產(chǎn)品 | 3 | 9 | 4 |
B產(chǎn)品 | 10 | 4 | 5 |
已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤是7萬元,生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤是12萬元,現(xiàn)在條件有限,該企業(yè)僅有勞動力300個,煤360噸,并且供電局只能供電200千瓦,試問:該企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各多少噸,才能獲得最大利潤?并求出最大利潤.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)存在與直線平行的切線,求實數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),若有極大值點,求證: .
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值之和為6,求實數(shù)的值;
(2)設(shè)函數(shù),若函數(shù)在區(qū)間上恒有零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)在問題(2)中,令,比較與0的大小關(guān)系,并說明理由.
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【題目】一片森林原面積為,計劃從某年開始,每年砍伐一些樹林,且每年砍伐面積與上一年剩余面積的百分比相等.并計劃砍伐到原面積的一半時,所用時間是10年.為保護生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的.已知到今年為止,森林剩余面積為原面積的.
(1)求每年砍伐面積與上一年剩余面積的百分比;
(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?
(3)為保護生態(tài)環(huán)境,今后最多還能砍伐多少年?
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【題目】中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初步健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細(xì)算相還”其大意為:“有一個人走378里路,第一天健步走,從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達(dá)目的地”,請問此人第5天走的路程為( )
A. 36里 B. 24里 C. 18里 D. 12里
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【題目】函數(shù)y = f(x)是定義域為R的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時,函數(shù)f(x)的圖象是由一段拋物線和一條射線組成(如圖所示).
①當(dāng)時,y的取值范圍是______;
②如果對任意 (b <0),都有,那么b的最大值是______.
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【題目】將平面上每個點都以紅、藍(lán)兩色之一著色,證明:存在這樣的兩個相似三角形,它們的相似比為1995,并且每一個三角形的三個頂點同色。
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