Question

若二次函數(shù)f（x）=x²-ax+2a-1僅存在整數(shù)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的集合為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若二次函數(shù)f（x）=x²-ax+2a-1僅存在整數(shù)零點(diǎn)，則x²-ax+2a-1=0僅有整數(shù)根，則x=

a± a2-8a+4

2

是整數(shù)．進(jìn)而由韋達(dá)定理可得a是整數(shù)，分析討論后可得實(shí)數(shù)a的集合．

解答： 解：若二次函數(shù)f（x）=x²-ax+2a-1僅存在整數(shù)零點(diǎn)，
則x²-ax+2a-1=0僅有整數(shù)根，
即x=

a± a2-8a+4

2

是整數(shù)．
∴設(shè)a²-8a+4=k²，
則a=4±

k2+12

，
∵x₁+x₂=a，a是整數(shù)，故

k2+12

也是整數(shù)，
即k²+12是個(gè)完全平方數(shù)，設(shè)k²+12=n²，
則n²-k²=12，
∴（n-k）（n+k）=12，
又由（n-k），（n+k）的奇偶性相同，
故n-k，n+k的值只能為2，6，或-2，-6，
∵解得n=4，n=-4，
∴a=0或a=8，
代入驗(yàn)證后，a=0或a=8都符合題意．
故實(shí)數(shù)a的集合為{0，8}，
故答案為：{0，8}

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，方程的根，分類討論思想，轉(zhuǎn)化難度比較大，屬于難題．