Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．
（1）證明：AB∥平面SDC
（2）證明：SD⊥平面SAB
（3）求A點(diǎn)到平面SBC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用線面平行的判定定理，可以證明AB∥平面SDC；
（2）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)DE，證明SD⊥平面SAB，只需證明SD⊥SE，AB⊥SD；
（2）求出F到平面SBC的距離，由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，可得E到平面SBC的距離，從而可求A點(diǎn)到平面SBC的距離．

解答： （1）證明：因?yàn)锳B∥CD，AB?平面SDC，CD?平面SDC，
所以AB∥平面SDC；
（2）證明：取AB中點(diǎn)E，連結(jié)DE，
則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2．
連結(jié)SE，則SESE⊥AB，SE=

3

又SD=1，故ED²=SE²+SD²
所以∠DSE為直角，
所以SD⊥SE，
由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE=E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD．
因?yàn)锳B∩SE=E，
所以SD⊥平面SAB；
（3）解：由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE．
作SF⊥DE，垂足為F，則SF⊥平面ABCD，SF=

SD×SE

DE

=

3

2

作FG⊥BC，垂足為G，則FG=DC=1．
連結(jié)SG，則SG⊥BC
又FG⊥BC，SG∩FG=G，
故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG，
作FH⊥SG，H為垂足，則FH⊥平面SBC，F(xiàn)H=

SF×FG

SG

=

21

7

即F到平面SBC的距離為

21

7

．
由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距離d也為

21

7

．
所以A點(diǎn)到平面SBC的距離

2 21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直、平行，考查點(diǎn)到平面的距離，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出E到平面SBC的距離是關(guān)鍵．