Question

4．已知△ABC的內(nèi)角A，C滿足$\frac{sinC}{sinA}$=cos（A+C），則tanC的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-sinAcosB，從而化簡得tanB=-2tanA，由tanC=-tan（A+B）利用tanA表示，根據(jù)基本不等式求tanC的最大值

解答 解：由$\frac{sinC}{sinA}$=cos（A+C）=-cosB，
所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=-sinAcosB，
所以：cosAsinB=-2sinAcosB，
所以：tanB=-2tanA，
因為：tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{tanA}{1+2ta{n}^{2}A}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanA}+2tanA}$$≤\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；當且僅當$\frac{1}{tanA}=2tanA$時等號成立．
所以tanC的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題主要考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式、正弦函數(shù)公式、正切函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．