Question

【題目】如圖已知橢圓，是長軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦過橢圓的中心，且，.

（Ⅰ）求橢圓的方程：

（Ⅱ）設(shè)為橢圓上異于且不重合的兩點(diǎn)，且的平分線總是垂直于軸，是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，請求出的最大值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）易知根據(jù)條件確定形狀，即得C坐標(biāo)，代入橢圓方程可得，（Ⅱ）即先判斷是否成立，設(shè)的直線方程，與橢圓聯(lián)立方程組解得坐標(biāo)，根據(jù)、關(guān)系可得坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式即得斜率，進(jìn)而判斷成立，然后根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算長度最大值，即可得的最大值.

（Ⅰ）∵， ∴

又，即，2

∴是等腰直角三角形

∵， ∴

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，∴∴

∴所求橢圓方程為

（Ⅱ）對于橢圓上兩點(diǎn)、，∵的平分線總是垂直于軸

∴與所在直線關(guān)于對稱，設(shè)且，則，

則的直線方程 ①

的直線方 ②

將①代入得 ③

∵在橢圓上，∴是方程③的一個(gè)根，∴

以替換，得到.

因?yàn)?/span>,所以span>∴ ∴，∴存在實(shí)數(shù)，使得

當(dāng)時(shí)即時(shí)取等號，

又，