Question

【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，對于任意的，均有，.

（1）求證：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列中去掉的項(xiàng)后，余下的項(xiàng)組成數(shù)列，求；

（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得、、成等比數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）（3）存在滿足題設(shè)條件的;此時(shí)

【解析】

(1)根據(jù)題意構(gòu)造等比數(shù)列結(jié)構(gòu)證明即可.

(2)根據(jù)數(shù)列的取值范圍可得,進(jìn)而分析得

求解即可.

(3)利用裂項(xiàng)相消求和求得,再根據(jù)題意用關(guān)于的表達(dá)式,再分析取值范圍即可.

（1）由得,由于,

故,即,所以.

故數(shù)列為等比數(shù)列,且,所以.

（2）,故,,

其中（常數(shù)）,所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列,

,,,.

由（1）可得,,,因?yàn)?/span>,,

所以

.

（3）,

.

其中,,,

假設(shè)存在正整數(shù),使得、、成等比數(shù)列,

則有,即,所以,

解得,又因?yàn)?/span>,,所以,此時(shí),

所以存在滿足題設(shè)條件的、.