Question

【題目】如圖所示，在直三棱柱中，，，其中為棱上的中點(diǎn)，為棱上且位于點(diǎn)上方的動(dòng)點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

（1）推導(dǎo)出tan∠BB1C==，tan∠PBC==，從而∠BB1C=∠PBC，PB⊥B1C，推導(dǎo)出BB1⊥A1B1，A1B1⊥B1C1，從而A1B1⊥平面BCC1B1，A1B1⊥BP，由此能證明BP⊥平面A1B1C．
（2）以BC，BA，BB1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線BQ與平面A1B1C所成角的正弦值．

（1）證明：在側(cè)面中，因?yàn)?/span>，，為棱上的中點(diǎn)，

所以，，

所以，所以，

在直三棱柱中，平面，

所以，

因?yàn)?/span>，，所以，

所以，

因?yàn)?/span>，所以平面，

所以，因?yàn)?/span>，所以平面；

（2）解：如圖，以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，為平面的一個(gè)法向量.

設(shè)，則，，

設(shè)平面的法向量為，則，，

所以，

因?yàn)槠矫?/span>與平面所成的銳二面角的余弦值為，

所以，所以，解得，或，

由已知得，，所以，所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.