Question

4．如圖是某企業(yè)2010年至2016年污水凈化量（單位：噸）的折線(xiàn)圖．

注：年份代碼1～7分別對(duì)應(yīng)年份2010～2016．
（1）由折線(xiàn)圖看出，可用線(xiàn)性回歸模型擬合y和t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；
（2）建立y關(guān)于t的回歸方程，預(yù)測(cè)2017年該企業(yè)污水凈化量；
（3）請(qǐng)用數(shù)據(jù)說(shuō)明回歸方程預(yù)報(bào)的效果．
附注：參考數(shù)據(jù)：$\overline{y}$=54，$\sum_{i=1}^{7}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）=21，$\sqrt{14}$≈3.74，$\sum_{i=1}^{7}$（y_i-$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$ ）²=$\frac{9}{4}$．
參考公式：相關(guān)系數(shù)r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$，回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{a}$+$\stackrel{∧}$t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{t}$．
反映回歸效果的公式為R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$，其中R²越接近于1，表示回歸的效果越好．

Answer 1

分析 （1）由折線(xiàn)圖看出，y與t之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，將已知數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)方程，可得答案；
（2）根據(jù)已知中的數(shù)據(jù)，求出回歸系數(shù)，可得回歸方程，2017年對(duì)應(yīng)的t值為8，代入可預(yù)測(cè)2017年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量；
（3）求出R²，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，$\overline{t}$=4，$\sum_{i=1}^{7}$（t_i-$\overline{t}$）（y_i-$\overline{y}$）=21，
∴r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$=$\frac{21}{\sqrt{28×18}}$≈0.935，
∵0.935＞0.75，
故y與t之間存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系；
（2）$\overline{y}$=54，$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{21}{28}$=$\frac{3}{4}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{t}$=54-$\frac{3}{4}×4$=51，
∴．y關(guān)于t的回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{3}{4}$t+51，
t=8，$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{3}{4}×8+51$=57，預(yù)測(cè)2017年該企業(yè)污水凈化量約為57噸；
（3）R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\stackrel{∧}{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$=1-$\frac{1}{18}×\frac{9}{4}$≈0.875，
∴企業(yè)污水凈化量的差異有87.5%是由年份引起的，這說(shuō)明回歸方程預(yù)報(bào)的效果是良好的．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線(xiàn)性回歸方程，回歸分析，計(jì)算量比較大，計(jì)算時(shí)要細(xì)心．