Question

8．以直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐際系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），
（Ⅰ）求C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|

Answer 1

分析 （Ⅰ）將原極坐標(biāo)方程ρcos²θ=4sinθ兩邊同時(shí)乘以ρ，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出其直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求出直線l的直角坐標(biāo)方程，代入弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）由ρsin²θ=4cosθ得，ρ²sin²θ=4ρcosθ，
即曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=4x；
（Ⅱ）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$ （t為參數(shù)），
∴直線l的直角坐標(biāo)方程是：y=$\sqrt{3}$（x-1），
如圖示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得：3x²-10x+3=0，
故x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，x₁x₂=1，
故|AB|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+3}$$\sqrt{{（\frac{10}{3}）}^{2}-4}$=$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化，考查弦長(zhǎng)公式，是一道中檔題．