Question

5．如圖，過橢圓$Γ：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$內(nèi)一點(diǎn)A（0，1）的動(dòng)直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)l平行于x軸和垂直于x軸時(shí)，l被橢圓Γ所截得的線段長(zhǎng)均為$2\sqrt{2}$．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B，使得對(duì)任意過點(diǎn)A（0，1）的動(dòng)直線l都滿足$|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{AN}|=|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{BN}|$？若存在，求出定點(diǎn)B的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分析可得到$b=\sqrt{2}$且點(diǎn)$（\sqrt{2}，\;\;1）$在橢圓上，將其代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，分直線l與x軸平行、與x軸垂直兩種情況，可以分析得到：若存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B滿足條件，則點(diǎn)B的坐標(biāo)只可能是（0，2），進(jìn)而在一般情況下，聯(lián)立直線與橢圓的方程，進(jìn)行證明可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由已知當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，l被橢圓Γ所截得的線段長(zhǎng)為$2\sqrt{2}$，可得$b=\sqrt{2}$，
則點(diǎn)$（\sqrt{2}，\;\;1）$在橢圓上，
所以$\frac{2}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，解得a=2，
所以橢圓Γ的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$，
（2）當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，則存在y軸上的點(diǎn)B，使$|\overrightarrow{BM}|\;•\;|\overrightarrow{AN}|=|\overrightarrow{AM}|\;•\;|\overrightarrow{BN}|$，設(shè)B（0，y₀）；
當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，$M（0，\;\;\sqrt{2}），\;\;N（0，\;\;-\sqrt{2}）$，
若使$|\overrightarrow{BM}|\;•\;|\overrightarrow{AN}|=|\overrightarrow{AM}|\;•\;|\overrightarrow{BN}|$，則$\frac{{|\overrightarrow{BM}|}}{{|\overrightarrow{BN}|}}=\frac{{|\overrightarrow{AM}|}}{{|\overrightarrow{AN}|}}$，
有$\frac{{|{y_0}-\sqrt{2}|}}{{|{y_0}+\sqrt{2}|}}=\frac{{\sqrt{2}-1}}{{\sqrt{2}+1}}$，解得y₀=1或y₀=2．
所以，若存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B滿足條件，則點(diǎn)B的坐標(biāo)只可能是（0，2）．
下面證明：對(duì)任意直線l，都有$|\overrightarrow{BM}|\;•\;|\overrightarrow{AN}|=|\overrightarrow{AM}|\;•\;|\overrightarrow{BN}|$，即$\frac{{|\overrightarrow{BM}|}}{{|\overrightarrow{BN}|}}=\frac{{|\overrightarrow{AM}|}}{{|\overrightarrow{AN}|}}$．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y=kx+1．
設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1，\;\;\\ y=kx+1\end{array}\right.$得（2k²+1）x²+4kx-2=0，
其判別式△=（4k）²+8（2k²+1）＞0，
所以，${x_1}+{x_2}=-\frac{4k}{{2{k^2}+1}}，\;\;{x_1}{x_2}=-\frac{2}{{2{k^2}+1}}$，
因此，$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=2k$．
易知點(diǎn)N關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)N'的坐標(biāo)為（-x₂，y₂），
又${k_{BM}}=\frac{{{y_1}-2}}{x_1}=\frac{{k{x_1}-1}}{x_1}=k-\frac{1}{x_1}$，${k_{BN'}}=\frac{{{y_2}-2}}{{-{x_2}}}=\frac{{k{x_2}-1}}{{-{x_2}}}=-k+\frac{1}{x_2}=k-\frac{1}{x_1}$，
所以k_BM=k_BN'，即B，M，N'三點(diǎn)共線，
所以$\frac{{|\overrightarrow{BM}|}}{{|\overrightarrow{BN}|}}=\frac{{|\overrightarrow{BM}|}}{{|\overrightarrow{BN'}|}}=\frac{{|{x_1}|}}{{|{x_2}|}}=\frac{{|\overrightarrow{AM}|}}{{|\overrightarrow{AN}|}}$．
故存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B（0，2），使得$|\overrightarrow{BM}|\;•\;|\overrightarrow{AN}|=|\overrightarrow{AM}|\;•\;|\overrightarrow{BN}|$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的性質(zhì)，考查了直線和圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解答（2）的關(guān)鍵是利用特殊情況求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而進(jìn)行一般情況下的證明．