Question

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），設(shè)M是曲線C上任一點(diǎn)，連結(jié)OM并延長到Q，使|OM|=|MQ|．
（1）求點(diǎn)Q軌跡的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與點(diǎn)Q軌跡相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（0，2），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）求出C的普通方程，設(shè)Q（x，y），則M（$\frac{x}{2}，\frac{y}{2}$），代入C的方程化簡即可；
（2）把l的參數(shù)方程代入C的普通方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的幾何意義求解．

解答 解：（1）曲線C的普通方程為（x-2）²+y²=4，
設(shè)Q（x，y），則M（$\frac{x}{2}$，$\frac{y}{2}$）．
∵M(jìn)在曲線C上，
∴（$\frac{x}{2}-2$）²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=4，即x²+y²-8x=0．
∴點(diǎn)Q軌跡的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-8x=0．
（2）把直線l的方程$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²-8x=0得t²+（4+2$\sqrt{3}$）t+4=0，
∴t₁+t₂=-4-2$\sqrt{3}$，t₁t₂=4．∴t₁，t₂同號(hào)．
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4+2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，屬于中檔題．