Question

10．記U={1，2，…，100}，對(duì)數(shù)列{a_n}（n∈N^*）和U的子集T，若T=∅，定義S_T=0；若T={t₁，t₂，…，t_k}，定義S_T=${a}_{{t}_{1}}$+${a}_{{t}_{2}}$+…+${a}_{{t}_{k}}$．例如：T={1，3，66}時(shí)，S_T=a₁+a₃+a₆₆．現(xiàn)設(shè){a_n}（n∈N^*）是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)T={2，4}時(shí)，S_T=30．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意正整數(shù)k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求證：S_T＜a_k+1；
（3）設(shè)C⊆U，D⊆U，S_C≥S_D，求證：S_C+S_C∩D≥2S_D．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由S_T的定義，分析可得S_T=a₂+a₄=a₂+9a₂=30，計(jì)算可得a₂=3，進(jìn)而可得a₁的值，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得答案；
（2）根據(jù)題意，由S_T的定義，分析可得S_T≤a₁+a₂+…a_k=1+3+3²+…+3^k-1，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算可得證明；
（3）設(shè)A=∁_C（C∩D），B=∁_D（C∩D），則A∩B=∅，進(jìn)而分析可以將原命題轉(zhuǎn)化為證明S_C≥2S_B，分2種情況進(jìn)行討論：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以證明得到S_A≥2S_B，即可得證明．

解答 解：（1）當(dāng)T={2，4}時(shí)，S_T=a₂+a₄=a₂+9a₂=30，
因此a₂=3，從而a₁=$\frac{{a}_{2}}{3}$=1，
故a_n=3^n-1，
（2）S_T≤a₁+a₂+…a_k=1+3+3²+…+3^k-1=$\frac{{3}^{k}-1}{2}$＜3^k=a_k+1，
（3）設(shè)A=∁_C（C∩D），B=∁_D（C∩D），則A∩B=∅，
分析可得S_C=S_A+S_C∩D，S_D=S_B+S_C∩D，則S_C+S_C∩D-2S_D=S_A-2S_B，
因此原命題的等價(jià)于證明S_C≥2S_B，
由條件S_C≥S_D，可得S_A≥S_B，
①、若B=∅，則S_B=0，故S_A≥2S_B，
②、若B≠∅，由S_A≥S_B可得A≠∅，設(shè)A中最大元素為l，B中最大元素為m，
若m≥l+1，則其與S_A＜a_i+1≤a_m≤S_B相矛盾，
因?yàn)锳∩B=∅，所以l≠m，則l≥m+1，
S_B≤a₁+a₂+…a_m=1+3+3²+…+3^m-1=$\frac{{3}^{m}-1}{2}$≤$\frac{{a}_{m+1}}{2}$=$\frac{{S}_{A}}{2}$，即S_A≥2S_B，
綜上所述，S_A≥2S_B，
故S_C+S_C∩D≥2S_D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，涉及新定義的內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是正確理解題目中對(duì)于新定義的描述．