Question

2．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=acost\\ y=1+asint\end{array}\right.$（t為參數(shù)，a＞0）．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）說明C₁是哪種曲線，并將C₁的方程化為極坐標方程；
（Ⅱ）直線C₃的極坐標方程為θ=α₀，其中α₀滿足tanα₀=2，若曲線C₁與C₂的公共點都在C₃上，求a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把曲線C₁的參數(shù)方程變形，然后兩邊平方作和即可得到普通方程，可知曲線C₁是圓，化為一般式，結合x²+y²=ρ²，y=ρsinθ化為極坐標方程；
（Ⅱ）化曲線C₂、C₃的極坐標方程為直角坐標方程，由條件可知y=x為圓C₁與C₂的公共弦所在直線方程，把C₁與C₂的方程作差，結合公共弦所在直線方程為y=2x可得1-a²=0，則a值可求．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=acost\\ y=1+asint\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=acost}\\{y-1=asint}\end{array}\right.$，兩式平方相加得，x²+（y-1）²=a²．
∴C₁為以（0，1）為圓心，以a為半徑的圓．
化為一般式：x²+y²-2y+1-a²=0．①
由x²+y²=ρ²，y=ρsinθ，得ρ²-2ρsinθ+1-a²=0；
（Ⅱ）C₂：ρ=4cosθ，兩邊同時乘ρ得ρ²=4ρcosθ，
∴x²+y²=4x，②
即（x-2）²+y²=4．
由C₃：θ=α₀，其中α₀滿足tanα₀=2，得y=2x，
∵曲線C₁與C₂的公共點都在C₃上，
∴y=2x為圓C₁與C₂的公共弦所在直線方程，
①-②得：4x-2y+1-a²=0，即為C₃ ，
∴1-a²=0，
∴a=1（a＞0）．

點評 本題考查參數(shù)方程即簡單曲線的極坐標方程，考查了極坐標與直角坐標的互化，訓練了兩圓公共弦所在直線方程的求法，是基礎題．