Question

12．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該雙曲線和圓x²+y²=a²+b²的一個交點(diǎn)，若sin∠PF₁F₂=3sin∠PF₂F₁，則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• C． $\sqrt{10}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出△PF₁F₂中，|OP|=c=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，∠F₁PF₂=90°，|PF₁|=a，|PF₂|=3a，由此能求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的兩個焦點(diǎn)，
∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-c，0）、F₂（c，0），
∵圓方程為x²+y²=a²+b²，即x²+y²=c²，
∴該半徑等于c，且圓經(jīng)過F₁和F₂，
∵點(diǎn)P是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$與圓x²+y²=a²+b²的交點(diǎn)，
∴△PF₁F₂中，|OP|=c=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，∴∠F₁PF₂=90°，
∵sin∠PF₁F₂=2sin∠PF₂F₁，
∴|PF₂|=3|PF₁|．
設(shè)|PF₁|=x，則|PF₂|=3x，
由雙曲線性質(zhì)得3x-x=2x=2a，
∴|PF₁|=a，則|PF₂|=3a，
由勾股定理得（a）²+（3a）²=（2c）²，
解得c=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題給出雙曲線與圓相交，在已知焦點(diǎn)三角形中的角度關(guān)系下求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單性質(zhì)的知識，屬于基礎(chǔ)題．